$ \def\diff{d} \def\medspace{\enspace} \def\mathbi{\mathbf} \def\euro{€} \def\dollar{\$} \def\textnormal{\text} \newcommand\norm[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} $
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Die Beschränktheit und Endlichkeit des Kapitalismus

[...]

Eine einfache Simulation - Ex Pluribus Unum (Aus Vielen Einen)

Zu den wohl einfachsten ökonomischen Simulationen, die man anstellen kann, gehört wohl die folgende, die insgesamt noch einfacher ist, doch Ähnlichkeit, jedenfalls hinreichende Gemeinsamkeit mit Monopoly hat, so dass sich die Eigenschaften des aus den Regeln des Spiels entstehenden Simulationsprozesses im großen Gesellschaftsspiel mit dem Namen Kapitalismus wiederfinden.

Oben: Die Beschreibung des Ziels des Spiels e(x) pluribus unum auf der 1-Dollar-Note. Unten: Die Vermögensverteilung in den USA.

Spielregeln (Basisversion)

In dem Modell gibt es Akteure $i$, die (zunächst) alle das gleiche Verhalten aufweisen und über ein jeweiliges Kapital $k_i$ verfügen, das anfangs für alle gleich groß ist. Die Spielregeln sind für alle Akteure des Spiels die gleichen.

Weiter sei ein existenzsicherndes minimales Kapital $k_\textrm{min}$ definiert, welches in diesem Gesellschaftsspiel nicht unterschritten werden kann, vergleichbar mit einer existenziellen Grundsicherung. Diese Grundsicherung wird im Verlauf der Simulation als ein unterer „Sockel“ oder eine Art „Bodensatz“ erkennbar.

Das Kernelement des Spiels ist die Umverteilung von Kapital durch den Verleih der Grundsicherung überschüssigen Kapitals gegen Zins. Für alle Akteure gilt ein (durch Knöpfe einstellbarer) Zinssatz von $z$, dessen Vorzeichen in der Simulation auch umgekehrt werden kann.

Alle überschüssigen Kapitale oberhalb der Grundsicherung $k_\textrm{min}$ werden durch Verleih eingesetzt. Durch den Verleih des überschüssigen Kapitals jedes Akteurs $i$ entstehen Zins-Schulden, die zufällig auf alle anderen Akteure $j\ne i$ verteilt werden. In einem Zeitschritt der Simulation (des Spiels) akkumuliert ein Akteur $i$ also nicht nur Zins-Guthaben, die von den anderen $j\ne i$ genommen werden, sondern auch Zins-Schulden, die an dem verliehen Kapital der anderen Akteure entstehen und auf den Akteur $i$ umverteilt wurden. Die zufällig bestimmten Umverteilungskoeffizienten für die Umverteilung sind $p_{i,j\ne i}$.

Sinkt in einem Zeitschritt der Simulation in Folge der Umverteilung der Zins-Schulden bei Akteuren $i$ das Kapital $k_i$ unter die Grundsicherung $k_\textrm{min}$ („Pleite“ oder Bankrott), dann wird die Differenz (Diskrepanz) zwischen $k_i$ und $k_\textrm{min}$ addiert und durch eine „Entschuldungssteuer” auf das Kapital $\tau$ auf alle Akteure $j\ne i$ mit Kapital oberhalb der Grundsicherung $k_\textrm{min}$ umgelegt und also mit dem bereits akkumulierten Kapital gewichtet umverteilt.

Der javascript-Quellcode der Simulation befindet sich hier.

Simulation


Entschuldungssteuer :
maximales Vermögen :


nach Größe sortieren (Pyramidenansicht)?
Umverteilungskoeffizient mit Kapital gewichten?

Details

Der Zeitpunkt der Simulation sei $t$, der nächste Zeitpunkt sei $t+1$. Es gibt einen Zwischenschritt am Zeitpunkt $t+\frac{1}{2}$, zur Behandlung der Pleiten.

  1. Das Kapital oberhalb der Grundsicherung $k_i\gt k_\textrm{min}$ ist im Spiel einsetzbar und kann darauf gesetzt werden.
  2. Die Zins-Gutschrift eines einzelnen Akteurs ist also $$ Z_i(t)=z\cdot (k_i(t)-k_\textrm{min}) $$
  3. $Z_i$ wird zufällig auf die anderen Akteure $j\ne i$ verteilt, so dass für den Zwischenschritt die Iterationsvorschrift $$ k_i(t+\frac{1}{2})=k_i(t)+Z_i(t)-\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t)\cdot Z_j(t) $$ lautet. Es gibt zwei einstellbare Arten zufälliger Umverteilung,
    • Gleichverteilung: $$ p_{i,j}(t)=\alpha $$ und
    • Verteilung unter Gewichtung durch die schon vorhandenen gegenwärtigen Kapitale $k_j(t)$ der Zins-Schuldner $j$ aus Sicht des Zins-Gläubigers $i$: $$ p_{i,j}(t)=\alpha\cdot k_j(t), $$ wobei $\alpha\in[0,1]$ eine Zufallszahl zwischen $0$ und $1$ ist. In letzterem Fall bekommen also diejenigen verstärkt die Zins-Schulden zugewiesen, die bereits höhere Kapitale akkumuliert haben.
    Die Umverteilungskoeffizienten auf sich selbst sind $0$ $$ p_{i,i}(t)=0, $$ und alle $p_{i,i\neq j}(t)$ sind insgesamt auf $1$ normiert: $$ \sum\limits_{j\neq i}p_{i,j}(t)=1. $$
  4. Nach der Umverteilung der Zinsen wird eine Index-Menge $D$ aller Akteure bestimmt, deren Kapital unterhalb der Grundsicherung liegt: $$ D=\{i\lvert k_i(t+\frac{1}{2})\lt k_\textrm{min}\}. $$ Die Einzeldiskrepanzen zum Minimum $d_i$ werden $$ d_i(t)=k_\textrm{min}-k_i(t+\frac{1}{2}). $$ zur Gesamtdiskrepanz $d(t)$ addiert: $$ d(t)=\sum\limits_{i\notin D} d_i(t). $$ Auf der anderen Seite wird das dem Minimum überschüssige Kapital addiert $$ s(t)=-\sum\limits_{i\notin D} d_i(t), $$ und aus beiden Beträgen wird die Entschuldungssteuer berechnet $$ \tau=\frac{d(t)}{s(t)}. $$
  5. Die Kapitale zum nächsten Zeitpunkt ergeben sich also aus den gegenwärtigen Kapitalen wie folgt: $$ k_i(t+1)= \left\{ \begin{array}{l} k_i(t+\frac{1}{2}) \quad \textrm{wenn} \quad D=\emptyset \\ k_\textrm{min} \quad \textrm{wenn} \quad D\neq\emptyset\land k_i(t+\frac{1}{2})\lt k_\textrm{min}\\ k_i(t+\frac{1}{2})\cdot (1-\tau(t))+\tau(t)\cdot k_\textrm{min} \quad \textrm{sonst.} \end{array} \right. $$

Diskussion

Hat man sich nach ein paar Durchläufen mit der Dynamik des Prozesses vertraut gemacht, wird man bemerkt haben, dass er immer auf eine gleiche Art endet: ein einziger Akteur vereint auf sich die anfangs überschüssigen Kapitale aller anderen, während die übrigen ein Kapital $k_\textrm{min}$ in Höhe der Grundsicherung haben. Welcher der eine Akteur ist, der am Ende alles hat, ist letztlich dem Zufall in der Frühphase der Simulation geschuldet. Wie man erkennen kann, verstärkt der positive Zins (zufällig) bestehende Ungleichgewichte, so dass ein Akteur, der in der Frühphase des Prozesses über ein wenig mehr als alle anderen verfügt, mit hoher und immer höher werdender Wahrscheinlichkeit seine Führungsposition behält. Umgekehrt bewirkt der positive Zins, dass Akteure, denen anfangs (zufällig) mehr Schulden zugewiesen wurden, mit immer weiter sinkender Wahrscheinlichkeit aufsteigen bzw. mit immer höher werdender Wahrscheinlichkeit im Gesellschaftsspiel unten bleiben.

Sortiert man die Verteilung der Kapitale nach der Größe (Knopf »sortieren?«), wobei die größten Kapitale in der Mitte zu finden sind und die kleineren nach links und rechts sortiert bei den Rändern, dann erkennt man eine Pyramidenform, die sich immer weiter zuspitzt, während die Basis der Pyramide immer mehr durch das minimale Kapital $k_\textrm{min}$ gebildet wird. In der monopolistischen Phase, in der bereits erkennbar ist, welcher Akteur das Spiel gewinnen wird, ist für alle Akteure, die weder das Monopol sind noch den Bodensatz bilden, weil sie nur noch über das minimale Kapital verfügen, also quasi der Mittelstand der simulierten Gesellschaft, klar, dass sie absteigen werden.

In der monopolistischen Phase kann man durch Drücken des Knopfes »Zins-Vorzeichen-Flip« das Vorzeichen des Zinses umkehren. Man sieht dann, dass die Entwicklung genau umgekehrt verläuft wie bei positivem Zins: die größeren Kapitale schmelzen zugunsten der kleineren Kapitale ab und die Verteilung entwickelt sich in Richtung Gleichverteilung. Der Endzustand dieser Negativzins-Ökonomie ist ein dynamisches Gleichgewicht, in der alle zufällig erzeugten Ungleichgewichte abgebaut werden.

Vergleich mit dem zivilisatorischen Gesellschaftsspiel Kapitalismus

Im Gegensatz zur Realität bis an den Anfang des 20. Jahrhundert, in der lange behauptet wurde, dass der nominale Zins nicht unterhalb von 0% gesenkt wird, das sog. zero lower bound (ZLB)-Dogma, kann man an der Simulation alle Möglichkeiten der Geldpolitik studieren. Es handelt sich dabei aber nur um ein Modell, dessen Aussagekraft in Bezug auf die Realität aufgrund der Modellannahmen natürlich beschränkt ist. Dennoch gibt es Eigenschaften des Modells, die sich aufgrund der Ähnlichkeit der Wirkmechanismen auch in der Realität finden.

Unterschiede

Zunächst einmal kläre ich die expliziten und impliziten Annahmen, die das Modell von der Realität unterscheiden.

Wenigstens die hier genannten Unterschiede machen eine Übertragung von Aussagen des Modells auf die Realität in Bezug auf die betreffenden Aspekte unmöglich.

Gemeinsames und Übertragbares

Neben den Unterschieden gibt es Eigenschaften des Modell, die seine Aussagen auf die Realität übertragbar machen. Ich beginne dabei zunächst mit der Dynamik des kapitalistischen Prozesses mit positivem Zins.

Bei negativem Zins zeigt die Simulation folgende Dynamik:

Berechnung der Lebensdauer des kapitalistischen Prozesses

[...]

Matrix-Schreibweise für sozial unkorrigierte Gleichung

Die obige Iterationsvorschrift ist im Wesentlichen (ohne die „soziale Korrektur”, die Umschuldungssteuer) von einer einfachen algebraischen Struktur, die durch eine Matrix-Exponentialfunktion gelöst wird. Die Elemente der Matrix $k$ ergeben sich aus der 3. Zeile der Iterationsvorschrift, wobei ich nur die unkorrigierte Version mit $$ D=\emptyset $$ und also $$ k_i(t+1)=k_i(t+\frac{1}{2}) $$ betrachte: \begin{eqnarray} k_i(t+1) & = & k_i(t)+Z_i(t)-\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t)\cdot Z_j(t) \\ & = & k_i(t)+z\cdot(k_i(t)-k_\textrm{min})-z\cdot\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}\cdot(k_j(t)-k_\textrm{min})\\ & = & k_i(t)+z\cdot(k_i(t)-\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t)\cdot k_j(t)) -z\cdot k_\textrm{min}\cdot (1-\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t))\\ & = & k_i(t)\cdot (1+z-z\cdot\sum\limits_{j\neq i}p_{j,i}(t))-z\cdot k_\textrm{min}\cdot(1-\sum\limits_{j\neq i}p_{j\neq i}(t)) \end{eqnarray}

Als Matrixgleichung geschrieben ergibt sich: $$ k(t+1)=\mathbf{M}_z\cdot k(t)-z\cdot k_\textrm{min}\cdot \left(\begin{array}{c} 1-\sum\limits_{j\neq 1} p_{j,1}(t)\\ 1-\sum\limits_{j\neq 2} p_{j,2}(t)\\ \vdots\\ \vdots\\ 1-\sum\limits_{j\neq n} p_{j,n}(t) \end{array}\right) $$ mit $$ \mathbf{M}_z=\left(\begin{array}{ccccc} 1+z & -z\cdot p_{2,1} & -z\cdot p_{3,1} & \hdots & -z\cdot p_{n,1} \\ -z\cdot p_{1,2} & 1+z & -z\cdot p_{3,2} & \hdots & -z\cdot p_{n,2} \\ -z\cdot p_{1,3} & -z\cdot p_{2,3} & 1+z & \hdots & -z \cdot p_{n,3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -z\cdot p_{1,n} & -z\cdot p_{2,n} & -z\cdot p_{3,n} & \hdots & 1+z \end{array}\right) $$

Querverweise auf 'Die Beschränktheit und Endlichkeit des Kapitalismus'