⌂ Der Spaltenraum der Matrix A enthält alle Vektoren A·x

Komplette Wiedergabeliste hier.

⌂ Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Wie multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor? $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1& 4 \\ 5 & 7& 12 \end{array}\right) \quad x=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) $$ Man kann dabei über die Zeilen und die Spalten nachdenken.

⌂ Standardweg: Skalarprodukt

Der Standardweg der Multiplikation ist die Zeilen von $A$ mit dem Vektor $x$ zu multiplizieren (Skalarprodukt): $$ A\cdot x = \left(\begin{array}{c} A_{11}\cdot x_1 +A_{12}\cdot x_2 +A_{13}\cdot x_3 \\ A_{21}\cdot x_1 +A_{22}\cdot x_2 +A_{23}\cdot x_3 \\ A_{31}\cdot x_1 +A_{32}\cdot x_2 +A_{33}\cdot x_3 \end{array}\right). $$

⌂ Vektorweise Multiplikation

Der andere Weg ist die vektorweise Multiplikation: $$ A\cdot x = x_1\cdot \left(\begin{array}{c} A_{11}\\ A_{21}\\ A_{31} \end{array}\right) +x_2\cdot \left(\begin{array}{c} A_{12}\\ A_{22}\\ A_{32} \end{array}\right) +x_3\cdot \left(\begin{array}{c} A_{13}\\ A_{23}\\ A_{33} \end{array}\right). $$ Man erkennt, dass das Ergebnis das gleiche ist und dass es nur eine andere Art ist, es aufzuschreiben. $A\cdot x$ ist also in dieser Schreibweise eine lineare Kombination der Spalten von $A$.

⌂ Spaltenraum und Rang einer Matrix

Der nächste Schritt ist, über alle möglichen Kombinationen der Spalten von $A$ nachzudenken. Das Ergebnis $A\cdot x$ heißt Spaltenraum $\text{Col}(A)$.

Für das letzte Beispiel ist der Spaltenraum eine Hyperebene. Das nächste Beispiel mit $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 8 \end{array}\right) $$ hat einen eindimensionalen (1D) Spaltenraum, weil die dritte Spalte von $A$ die Summe der ersten beiden Spalten ist. Man sagt dann, dass der Rang der Matrix $1$ ist: $$ \text{rg}(A)=1. $$

Der Rang $\text{rg}(A)$ einer Matrix $A$ ist die Dimension des Spaltenraums $\text{Col}(A)$. Die Dimension des Spaltenraums ist die Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren.

$$ B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) (1\enspace 3\enspace 8) =u\cdot v^T $$ Das sieht ein wenig „seltsam” aus, aber die Konstituenten der Rechnung haben die korrekten Dimensionen: $$ \mathbb{R}^{3\times 1}\cdot \mathbb{R}^{1\times 3}=\mathbb{R}^{3\times 3} $$

Betrachtet man wieder die Matrix $A$, so sieht man, dass die dritte Spalte eine Linearkombination der ersten beiden Spalten ist. Nur zwei Spaltenvektoren sind linear unabhängig. Daher ist die Dimension des Spaltenraums $2$.

⌂ Lineare Unabhängigkeit

Nun suchen wir eine Basis für den Spaltenraum. Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren, mit denen der Spaltenraum aufgespannt wird. Sei $C$ diese Basis mit $$ C=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 7 \end{array}\right). $$

Nun sucht man eine dritte Matrix $R$, so dass $$ A = C \cdot R. $$ $R$ findet sich durch Vergleich: $$ \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 12 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 7 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ Man findet hier den wichtigen Satz der linearen Algebra, dass der Spaltenrang gleich dem Zeilenrang ist, dessen Beweis im Folgenden skizziert wird.

⌂ Zeilenraum einer Matrix

Der Zeilenraum einer Matrix $A$ besteht in allen Linearkombinationen von Zeilenvektoren.

Der Zeilenraum einer Matrix $A$ ist der Spaltenraum der transponierten Matrix $\text{Col}(A^T)$.

Die Spalten der Matrix $C$ enthalten eine Basis für den Spaltenraum von $A$. Es wird nun gezeigt, warum die Zeilen der Matrix $R$ eine Basis für den Zeilenraum von $A$ bilden, indem man einfach die Matrixmultiplikation betrachtet $$ A=C\cdot R $$ und die Identität feststellt. Die Matrix $R$ heißt auch die zeilenreduzierte „Echelon-Form” der Matrix $A$, auch Stufen- oder Treppennormalform.

Eine weitere Feststellung besagt, dass nicht nur $A\cdot x$ im Spaltenraum ist, sondern auch $A\cdot B\cdot C\cdot x$, denn $$ A\cdot B\cdot C\cdot x = A\cdot (B\cdot C\cdot x) $$ und $B\cdot C\cdot x$ ist ein Spaltenvektor, weswegen sein Produkt mit $A$ wieder im Spaltenraum von $A$ liegen muss.

⌂ Matrixmultiplikation

Wir berechnen $A\cdot B$ auf die zwei unterschiedlichen Weisen. Die Standardmethode besteht darin für die Komponenten der Ergebnismatrix die dem Zeilenindex der Komponent entsprechende Zeile von $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ zu nehmen und diese mit der dem Spaltenindex entsprechenden Spalte von $B\in \mathbb{R}^{n\times p}$ skalar zu mulitplizieren: $$ D=A\cdot B= \left(\begin{array}{ccc} \sum_k A_{1 k}\cdot B_{k 1} & \sum_k A_{1 k}\cdot B_{k 2} & \sum_k A_{1 k}\cdot B_{k 3} \\ \sum_k A_{2 k}\cdot B_{k 1} & \sum_k A_{2 k}\cdot B_{k 2} & \sum_k A_{2 k}\cdot B_{k 3} \\ \sum_k A_{3 k}\cdot B_{k 1} & \sum_k A_{3 k}\cdot B_{k 2} & \sum_k A_{3 k}\cdot B_{k 3} \end{array}\right), $$ wobei $k\in\{1,\ldots,n\}$. Für ein Element der Ergebnismatrix ergibt sich $$ D_{i j}=\sum_k A_{i k}\cdot B_{k j}=(A_{i 1}\enspace\cdots\enspace A_{i n}) \left(\begin{array}{c} B_{1 j}\\ \vdots \\ B_{n j} \end{array}\right), $$ Mit der hier vorgestellten, zweiten Methode wird eine Spalte von $A$ mit einer Zeile von $B$ multipliziert, wobei man eine Matrix erhält und nicht mehr ein Skalar: $$ D=\sum_k \tilde{D}_k=\sum_k \left(\begin{array}{ccc} A_{1 k}\cdot B_{k 1} & A_{1 k}\cdot B_{k 2} & A_{1 k}\cdot B_{k 3} \\ A_{2 k}\cdot B_{k 1} & A_{2 k}\cdot B_{k 2} & A_{2 k}\cdot B_{k 3} \\ A_{3 k}\cdot B_{k 1} & A_{3 k}\cdot B_{k 2} & A_{3 k}\cdot B_{k 3} \end{array}\right). $$ Die Ergebnismatrix $D$ ergibt sich dabei aus einer Summe über äußere Produkte: $$ \tilde{D}_k=\left(\begin{array}{c} A_{1 k} \\ \vdots \\ A_{n k} \\ \end{array}\right) (B_{k 1}\enspace\cdots\enspace B_{k n}) $$

⌂ Querverweise auf 'Der Spaltenraum der Matrix A enthält alle Vektoren A·x'

Tim Deutschmann

USt-IdNr.: DE342866832

E-mail: autor@tim-deutschmann.de

Kontaktformular

Keltenweg 22
69221 Dossenheim
Deutschland

Impressum

	„Die Form ist schlecht, problematisch oder hässlich.“
	„Der Artikel ist schlecht strukturiert.“
	„Die Argumente sind unlogisch, die Schlussfolgerungen sind nicht nachvollziehbar oder zu sprunghaft.”
	„Die Begriffe sind gar nicht oder schlecht definiert, unscharf oder unklar.”
	„Etwas anderes gefällt mir nicht.”
	„Form, Struktur und Logik sind akzeptabel.”

	„Ich bin schockiert!”
	„Der Text hat mich wütend gemacht.“
	„Der Text hat mich deprimiert, frustriert oder traurig gemacht.”
	„Ich bin überrascht!“
	„Es hat mit ein gutes Gefühl gegeben”, „ich habe mich gefreut” oder „ich bin gar euphorisch”.
	„Der Text hat mich nachdenklich oder grübelig gemacht.“
	„Ich empfinde Angst, ein Gefühl der Beklemmung oder eine Art Zwang.”
	„Der Text hat mich nicht berührt.“ oder „Es gibt kaum eine Reaktion.”
	„Da ist eine fühlbare Reaktion, die anders ist oder nicht greifbar.”

	„Eher gut“ oder „Gefällt mir”.
	„Egal“, „Keine Meinung“ oder „Ich weiß noch nicht”.
	„Eher schlecht“, „Blödsinnig” oder „Gefällt mir nicht“.