⌂ Umverteilungsspiele - Ex Pluribus Unum (Aus Vielen Einer)

Zu den wohl einfachsten ökonomischen Simulationen, die man anstellen kann, gehört wohl die Folgende, die insgesamt noch einfacher ist doch Ähnlichkeit, jedenfalls hinreichende Gemeinsamkeit, mit Monopoly hat, so dass sich die Eigenschaften des aus den Regeln des Spiels entstehenden Simulationsprozesses, wie analog auch im Monopoly-Spiel und im großen Gesellschaftsspiel mit dem Namen Kapitalismus, wiederfinden.

⌂ Spielregeln

In dem Modell gibt es Akteure $i$, die alle das gleiche Verhalten aufweisen und über ein jeweiliges Kapital von $k_i$ verfügen, das anfangs für alle gleich hoch ist. Die Spielregeln sind für alle Akteure des Spiels die gleichen.

Weiter sei ein existenzsicherndes minimales Kapital $k_{\text{min}}$ definiert, welches in diesem Gesellschaftsspiel nicht unterschritten werden kann, vergleichbar mit einem existenziellen Grundsicherung. Diese Grundsicherung wird im Verlauf der Simulation als ein unterer „Sockel“ oder eine Art „Bodensatz“ erkennbar.

Das Kernelement des Spiels ist die Umverteilung von Kapital durch den Verleih der Grundsicherung überschüssigen Kapitals gegen Zins. Für alle Akteure gilt ein (durch Knöpfe einstellbarer) Zinssatz von $z$, dessen Vorzeichen in der Simulation auch umgekehrt werden kann.

Alle Kapitale über der Grundsicherung werden durch Verleih eingesetzt. Durch den Verleih des überschüssigen Kapitals jedes Akteurs $i$ entstehen Zins-Schulden, die zufällig auf alle anderen Akteure $j\ne i$ verteilt werden. In einem Zeitschritt der Simulation (des Spiels) akkumuliert ein Akteur $i$ also nicht nur Zins-Guthaben die von den anderen $j\ne i$ genommen werden, sondern auch Zins-Schulden, die an dem verliehen Kapital der anderen Akteure entstehen und auf den Akteur $i$ umverteilt wurden. Die zufällig bestimmten Umverteilungskoeffizienten für die Umverteilung sind $p_{i,j\ne i}$.

Sinkt in einem Zeitschritt der Simulation in Folge der Umverteilung der Zins-Schulden bei Akteuren $i$ das Kapital $k_i$ unter die Grundsicherung $k_{\text{min}}$, wird die Diskrepanz, die Differenz zwischen $k_i$ und $k_{\text{min}}$, addiert und durch eine Entschuldungssteuer auf das Kapital $\tau$ auf alle Akteure $j\ne i$ mit Kapital oberhalb der Grundsicherung $k_{\text{min}}$ umgelegt und also mit dem bereits akkumulierten Kapital gewichtet umverteilt.

Der javascript-Quellcode der Simulation befindet sich hier.

⌂ Details

Der Zeitpunkt der Simulation sei $t$, der nächste Zeitpunkt sei $t+1$. Es gibt einen Zwischenschritt am Zeitpunkt $t+\frac{1}{2}$, zur Behandlung der Pleiten.

1. Das Kapital oberhalb der Grundsicherung $k_i>k_{\text{min}}$ ist im Spiel einsetzbar und kann darauf gesetzt werden.
2. Die Zins-Gutschrift eines einzelnen Akteurs ist also $$Z_i\left(t\right)=z·\left(k_i\left(t\right)-k_{\text{min}}\right)$$
3. $Z_i$ wird zufällig auf die anderen Akteure $j\ne i$ verteilt, so dass für den Zwischenschritt die Iterationsvorschrift $$k_i\left(t+\frac{1}{2}\right)=k_i\left(t\right)+Z_i\left(t\right)-\sum _{j\ne i}{p}_{j,i}\left(t\right)·Z_j\left(t\right)$$ lautet. Es gibt zwei einstellbare Arten zufälliger Umverteilung.
   1. Gleichverteilung:
      $$p_{i,j}\left(t\right)=\alpha .$$
   2. Verteilung unter Gewichtung durch die schon vorhandenen gegenwärtigen Kapitale:
      $k_j\left(t\right)$ der Zins-Schuldner $j$ aus Sicht des Zins-Gläubigers $i$: $$p_{i,j}\left(t\right)=\alpha ·k_j\left(t\right),$$ wobei $\alpha \in \left[0,1\right]$ eine Zufallszahl zwischen $0$ und $1$ ist. In letzterem Fall bekommen also diejenigen verstärkt die Zins-Schulden zugewiesen, die bereits höhere Kapitale akkumuliert haben. Die Umverteilungskoeffizienten $p_{i,j\ne i}\left(t\right)$ sind auf $1$ normiert: $$\sum _{j\ne i}{p}_{i,j}\left(t\right)=1,$$ und die Umverteilungskoeffizienten auf sich selbst sind 0: $$p_{i,i}\left(t\right)=0.$$
4. Nach der Umverteilung der Zinsen wird eine Index-Menge $D$ aller Akteure bestimmt, deren Kapital unterhalb der Grundsicherung liegt: $$D=\left\{i|k_i\left(t+\frac{1}{2}\right)<k_{\text{min}}\right\}.$$ Die Einzel-Diskrepanzen zum Minimum $d_i$ werden $$d_i\left(t\right)=k_{\text{min}}-k_i\left(t+\frac{1}{2}\right).$$ zur Gesamt-Diskrepanz $d\left(t\right)$ addiert: $$d\left(t\right)=\sum _{i\in D}{d}_i\left(t\right).$$ Auf der anderen Seite wird das dem Minimum überschüssige Kapital addiert $$s\left(t\right)=-\sum _{i\notin D}{d}_i\left(t\right)$$ und aus beiden Beträgen wird die Entschuldungssteuer berechnet $$\tau \left(t\right)=\frac{d\left(t\right)}{s\left(t\right)}.$$
5. Die Kapitale zum nächsten Zeitpunkt ergeben sich also aus den gegenwärtigen Kapitalen wie folgt: $$k_i\left(t+1\right)=\left\{\begin{array}{lrl}{k}_i\left(t+\frac{1}{2}\right)& wenn& D=\varnothing \\ k_{\text{min}}& wenn& D\ne \varnothing \wedge k_i\left(t+\frac{1}{2}\right)<k_{\text{min}}\\ k_i\left(t+\frac{1}{2}\right)·\left(1-\tau \left(t\right)\right)+\tau \left(t\right)·k_{\text{min}}& sonst.& \end{array}\right.$$

⌂ Diskussion

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